解答編

以下の図の、角CDEを求めよ。ただし辺AB=ACである。

Question

これを解くには、まず座標系を設定して、点Dと点Eの位置を計算する。それがわかれば、あとは角度を計ればいいわけだ。点Bを原点として、辺BCの距離を1 とする。すると、点A,B,Cの座標は次のようになる。(以下、角度の単位は度とするが、°は省略する)

\begin{aligned} 点A: x_a & =1/2, y_a = \frac{\tan 80}{2} \\ 点B: x_b & =0, y_b = 0 \\ 点C: x_c & =1, y_c = 0 \end{aligned}

次に、点Dの座標を求める。角DBCが80°だということを使うと、辺ABの直線の式は

y=\tan 80 x

辺CDの式は

y=-\tan 60 (x-1)

連立方程式を解いて、

x=\frac{\tan 60}{\tan 60+\tan 80}

$\tan x$ を $\sin x$ と $\cos x$ に分解して、加法定理を使うと

x=\frac{\sin 60 \cos 80}{\sin 60 \cos 80 + \sin 80 \cos 60} = \frac{\sin 60 \cos 80}{\sin 140} = \frac{\sin 60 \cos 80}{sin 40}

つまり、点Dは

\begin{aligned} x_d & =\frac{\sin 60 \cos 80}{\sin 40} \\ y_d & =\frac{\sin 80}{\cos 80 x_d}=\frac{\sin 60 \sin 80}{\sin 40} \end{aligned}

点Eも同様に計算して

\begin{aligned} x_e & =\frac{\sin 80 \cos 50}{\sin 50} \\ y_e & =\frac{\sin 50}{\cos 50} x_e=\sin 80 \end{aligned}

これですべての点の座標がわかったので、辺DEの傾きと辺CDの傾きを知れば角度がわかる。辺CDの傾きは60°である。辺DEの傾きkを求めるには、X軸とY軸のそれぞれの距離を計算して割ればよい。

$$ dx=x_e-x_d, dy=y_e-y_d $$とする。

\begin{aligned} dx & =\frac{\sin 80 \cos 50}{\sin 50}-\frac{\sin 60 \cos 80}{\sin 40}\\ & =\frac{\sin50 + \sin30}{2\sin50} - \frac{\sin40 - \sin20}{2\sin 40}\\ & =\frac{1}{2} + \frac{\sin30}{2\sin50} - \frac{1}{2} + \frac{\sin20}{2\sin40}\\ & =\frac{\sin 30 \sin 40 + \sin 20 \sin 50}{2\sin40 \sin50}\\ dy & =\sin80 - \frac{\sin60 \sin80}{\sin40} \\ & =\frac{\sin80 (\sin40 - \sin60)}{\sin40} \\ \frac{dy}{dx} & = \frac{2 \sin50 \sin80 (\sin40 - \sin60)}{\sin30 \sin40 + \sin20 \sin50} \\ \end{aligned}

角CDEは辺CDの傾き角-辺DEの傾き角 $$ = 60 - \arctan(dy/dx)$$度である。三角関数と逆三角関数を電卓で使えるなら、この時点で、電卓をたたけば角度はわかる。

試しに電卓でdy/dxを計算してみると、角度は30°であることがわかる。この時点で初めて、「この式はもしかしたらもっと単純になるのかもしれない」と思いつくはずだ。そこで、dy/dxの式を簡単にすることを考える。

\begin{aligned} \frac{dy}{dx} & = \frac{2 \sin50 \sin80 (\sin40 - \sin60)}{\sin30 \sin40 + \sin20 \sin50}\\ & = -\frac{2\sin80 \sin20}{\cos10 + \cos30 - 2\cos 70} (積和、和積の公式を使って整理)\\ & = -\frac{2\cos10 \sin20}{2\cos20 \cos10 - 2\sin 20}\\ & = -\frac{\cos10 \sin20}{\cos20 \cos10 - 2\cos 10 \sin10}\\ & = -\frac{\sin20}{\cos20 - 2\sin10}\\ & = -\frac{\sin20}{\cos20 - \cos80 - \sin10}\\ & = -\frac{\sin20}{2\sin 50 \sin 30 - \sin 10}\\ & = -\frac{\sin20}{\sin50 - \sin10} (\sin30=1/2より)\\ & = -\frac{\sin20}{2\cos 30 \sin 20}\\ & = -\frac{1}{2\cos 30}\\ & = -\frac{\sin30}{\cos 30}\\ & = -\tan 30 \end{aligned}

というわけで、角CDE は 60-30 = 30度である。

「問題」の問題