解答編

この問題をどのように考えたらいいだろうか？まず考えることは、問題の定式化である。「ジャンケンで勝負が決まる」とはどういうことだろうか？

「勝負が決まる」のは、全員の手がグーとチョキ、チョキとパー、パーとグーというように2種類に分かれている場合だ。そして、皆が同じ手を出した場合と、皆の手が3種類に分かれている場合は「あいこ」である。

さて、それでは具体的に確率を考えてみよう。いや、この場合は確率というより「場合の数」の方がわかりやすいだろう。n人でジャンケンをした場合、ありうる手の出し方は$3^n$通りある。この中で、勝負が決まるパターンは何通りあるだろうか？

「全員がグーとチョキしか出さない」という場合を考えてみれば、これは案外簡単だ。全員、2通りの選択肢があるわけだから、総数は$2^n$通りである。この中で、全員がグー、全員がパーの場合(それぞれ1通り)はあいこだから、この分を引かなくてはならない。だから、誰もパーを出さなかった場合には勝負がつくのは$2^n-2$通りだ。これが3パターンあるので、全部で$3(2^n-2)$通りである。

確率で言うと、全部の場合の数で割って、$3(2^n-2)/3^n$が答えである。

さて、式がわかればあとは計算である。いちいち電卓をたたくのも面倒だろうから、下に表を載せておいた。

どうだろう？思ったより期待値は少ないのではないか？すぐ決まる時は印象が薄く、長々とあいこが続く時ほど印象に残るからである。

やっぱり、期待値ではなく、どのくらい長々と続く可能性があるかも見てみたい。「長々と続く」という定義があいまいだが、確率の世界では95%とか99%がよく使われる。95%とはつまり、「N回やれば95%の確率で勝負がつく」という回数である。95%と99%の場合の表を見てみよう。

最後の表はなんとなくイメージにあっているのではないか？「長々とあいこが続いたけどやっと決着がついた」という場合の回数はだいたいこんなものだ。

95%で考えると、テンポよくやって1回4秒だとして、8人で1分40秒、9人でやると3分を越える。このあたりが多人数じゃんけんの限界なのではないだろうか。